哈代-彼得罗维奇-哈钦森问题与部分 theta 函数
经典分析与常微分方程
2019-12-19 v1
摘要
1907 年，M. 彼得罗维奇开创了对一类整函数的研究，该类函数的所有有限截段均为实根多项式。由于该类函数由无穷多个判别式不等式（每个次数对应一个）所决定，因此无法通过级数系数对其进行显式描述。然而，可以给出有趣的必要或充分条件。特别地，J. I. 哈钦森证明了，一个具有严格正系数的整函数 p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n+...，其任意有限截段 a_ix^i+...+a_jx^j 具有所有实根，当且仅当对所有 i=1,2,...，有 a_i^2/(a_{i-1}a_{i+1}) 大于或等于 4。本文针对 M. 彼得罗维奇所考虑的类，给出了比值 a_i^2/(a_{i-1}a_{i+1}) 的精确下界。特别地，我们证明了当 i 趋于无穷时这些极小值的极限，等于经典部分 theta 函数属于拉盖尔-波利亚类的参数最大正值的倒数。
引用
@article{arxiv.1106.6262,
title = {Hardy-Petrovitch-Hutchinson's problem and partial theta function},
author = {Vladimir Petrov Kostov and Boris Shapiro},
journal= {arXiv preprint arXiv:1106.6262},
year = {2019}
}