Hutchinson 区间与 Laguerre-Pólya 类整函数

我们寻找区间 $[\alpha, \beta (\alpha)]$，使得若具有正系数的单变量实多项式或整函数 $f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots$ 对所有 $k \geq 2$ 满足条件 $\frac{a_{k-1}^2}{a_{k-2}a_{k}} \in [\alpha, \beta(\alpha)]$，则 $f$ 属于 Laguerre--Pólya 类。例如，由 J.I.~Hutchinson 定理可知，当 $q_k(f) \in [4, + \infty)$ 时，$f$ 属于 Laguerre--Pólya 类（仅有实零点）。我们感兴趣的是寻找那些不是 $[4, + \infty)$ 子集的区间。