关于微分算子的Pólya-Wiman性质

设 $\phi(x)=\sum \alpha_n x^n$ 为实系数形式幂级数，D表示微分。证明“对任意实多项式 $f$，存在正整数 $m_0$ 使得当 $m\geq m_0$ 时 $\phi(D)^m f$ 只有实零点”当且仅当“$\alpha_0=0$ 或 $2\alpha_0\alpha_2 - \alpha_1^2 <0$”，且若 $\phi$ 不表示 Laguerre-Pólya 函数，则存在 genus 0 的 Laguerre-Pólya 函数 $f$ 使得对任意正整数 $m$，$\phi(D)^m f$ 表示具有无穷多非实零点的实整函数。