反Löwner函数的刻画

根据 Löwner 的一个著名结果，一个实值函数 $f$ 是算子单调的当且仅当对于任意整数 $N>0$ 和任意选择的 $x_1,x_2,...,x_N$，其 Löwner 矩阵（即差商矩阵 $L_f=(\frac{f(x_i)-f(x_j)}{x_i-x_j})_{i,j=1}^N$）是半正定的。在本文中，我们回答了 R. Bhatia 提出的一个问题：他要求刻画定义在 $(0,+\infty)$ 上的实值函数 $g$，使得对于任意整数 $N>0$ 和任意选择的 $x_1,x_2,...,x_N\in(0,+\infty)$，其和商矩阵 $K_g=(\frac{g(x_i)+g(x_j)}{x_i+x_j})_{i,j=1}^N$（我们称之为反Löwner矩阵）是半正定的。这类我们称之为反Löwner函数的函数在Lyapunov型方程理论中有应用。