PI层次的哈密顿结构

类型为$(2,2g+1)$的弦方程可以被认为是第一Painlevé方程的高阶类似物,对应于$g = 1$的情况。对于$g > 1$,该方程伴随一组有限的交换等单调变形,它们一起形成一个称为PI层次的层次结构。这个层次结构给出了众所周知的Mumford系统的等单调类似物。Lax方程的哈密顿结构可以用与Mumford系统相同的泊松结构来表述。一组用于Mumford系统的Darboux坐标也可以引入到这个层次结构中。在这些Darboux坐标中的运动方程结果证明采取哈密顿形式,但哈密顿量与Lax方程的哈密顿量不同(除了对应于弦方程本身的最低一个)。