Hajnal–Máté 图、Cohen 实数与不相交类型猜测

Hajnal–Máté 图是定义在 $\omega_1$ 上满足某种自然稀疏条件的不可数色图。我们研究 Hajnal–Máté 图及其推广，重点关注在添加单个 Cohen 实数所得的模型中 Hajnal–Máté 图的存在性。特别地，在回答 Dániel Soukup 的一个问题时，我们证明此类模型必然包含无三角形的 Hajnal–Máté 图。在此过程中，我们分离出一种称为\emph{不相交类型猜测}的 club 猜测的弱化形式，我们认为其本身具有研究价值。我们证明不相交类型猜测独立于 $\mathsf{ZFC}$，并且若基模型中不相交类型猜测成立，则通过单个 Cohen 实数进行的力迫扩张包含 Hajnal–Máté 图 $G$，使得 $G$ 的有限子图的色数增长可任意缓慢。