满足 Serre 条件的单纯复形的 H-向量

我们研究满足 Serre 条件 ($S_r$) 的单纯复形的 $h$-向量。若对于所有面 $F \in \Delta$ 以及所有 $i < \min \{r-1,\dim \lk_\Delta(F)\}$，有 $\tilde H_i(\lk_\Delta(F);K)=0$，则称单纯复形 $\Delta$ 满足 Serre 条件 ($S_r$)，其中 $\lk_\Delta(F)$ 是 $\Delta$ 关于 $F$ 的链接，$\tilde H_i(\Delta;K)$ 是 $\Delta$ 在域 $K$ 上的约化同调群。本文的主要结果是：若 $\Delta$ 满足 Serre 条件 ($S_r$)，则 (i) 对于 $k =0,1,...,r$，$h_k(\Delta)$ 非负，且 (ii) $\sum_{k\geq r}h_k(\Delta)$ 非负。