全正性与 Athanasiadis 和 Tzanaki 的两个不等式

设 $\Delta$ 为一个 $(d-1)$ 维单纯复形，$h^ \Delta = (h_0^ \Delta ,\ldots, h_d^ \Delta)$ 为其 $h$-向量。对于面均匀细分操作 ${\mathcal F}$，我们将细分后的复形记为 $\Delta_{\mathcal F}$，将满足 $h^ {\Delta_{\mathcal F}} = H_{\mathcal F} h^ \Delta$ 的矩阵记为 $H_{\mathcal F}$。与对称分解的实根性相关联，Athanasiadis 和 Tzanaki 针对严格正的 $h$-向量研究了不等式 $\frac{h_0^ \Delta}{h_1^ \Delta} \leq \frac{h_1^\Delta}{h_{d-1}^ \Delta} \leq \cdots \leq \frac{h_d^ \Delta}{h_0^\Delta}$ 和 $\frac{h_1^\Delta}{h_{d-1}^\Delta} \geq \cdots \geq \frac{h_{d-2}^\Delta}{h_2^\Delta} \geq \frac{h_{d-1}^\Delta}{h_1^\Delta}$。在本文中，我们证明如果这些不等式对于单纯复形 $\Delta$ 成立，且 $H_{\mathcal F}$ 是 TP$_2$（所有元素和二阶子式均非负），则这些不等式对于 $\Delta_{\mathcal F}$ 也成立。我们证明如果 ${\mathcal F}$ 是重心细分，则 $H_{\mathcal F}$ 是 TP$_2$。如果 ${\mathcal F}$ 是第 $r$ 次边细分，则 Diaconis 和 Fulman 的工作表明 $H_{\mathcal F}$ 是 TP$_2$。事实上，在这种情况下，根据 Mao 和 Wang 的工作，$H_{\mathcal F}$ 甚至是 TP。