秩1赋值半群的增长

我们考虑哪些半群可以作为支配一个Noetherian局部环$R$的秩1赋值的正值半群$S_R(\nu)$出现。我们给出了$\phi(n)=S_R(\nu)\cap (0,n)$（$n\in\NN$）增长的多项式型界限，首先以上界$P_R(n)$开始，其中$P_R(n)$是$R$的Hilbert函数。这个界限被推广到Cutkosky和Teissier在论文“Semigroups of valuations on local rings, II”（arXiv:0805.3788）中给出的任意秩赋值的极其一般的界限。这个界限已经足以给出简单的例子，说明存在秩1良序半群不是支配一个Noetherian局部环的赋值的值半群$S_R(\nu)$。在秩1的情况下，可以对$\phi(n)$给出更精确的估计，我们在本文中证明了这一点。我们还给出了例子，表明在二维正则局部环上，$\phi(n)$可以具有多种不同的增长率，例如对于$1\le\alpha\le 2$的任何有理数$\alpha$，有$n^{\alpha}$，以及$n\log(n)$。