复化极限圆特征函数的增长与节点流

我们研究洛巴切夫斯基平面上的极限圆特征函数。它们是满足 $\left(-y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)+ 2i\tau y\frac{\partial}{\partial x}\right)u(x+iy)=s^2 u(x+iy)$，$x+iy\in\mathbb C^+$ 的函数 $u\colon \mathbb H=\mathbb C^+=\{z\in\mathbb C\colon \Im z>0\}\to\mathbb C$，其中 $\tau,s\in\mathbb R$，$\tau$ 很大且 $s/\tau$ 很小。换言之，我们研究双曲平面上磁量子哈密顿量的特征函数。根据玻尔半经典对应原理，此类函数的渐近行为与 $T\mathbb H$ 上的极限圆流相关。设 $u^{\mathbb C}$ 为函数 $u$ 到格劳尔特管的解析延拓；后者是复化洛巴切夫斯基平面 $\mathbb H^{\mathbb C}$ 中 $\mathbb H$ 的一个开邻域。若一列极限圆函数在容许能级上（取 $\hbar=1/\tau$）具有微局域量子遍历性，则我们可以找到 $u^{\mathbb C}$ 的除子的渐近分布。这是通过在 $\mathbb H^{\mathbb C}$ 中建立 $|u^{\mathbb C}|$ 的渐近估计来实现的。在虚时间极限圆流下，$u$ 在 $T^*\mathbb H$ 中的微局域化被转化为 $u^{\mathbb C}$ 在 \mathbb H^{\mathbb C}} 上的局域化。当 $\tau\to\infty$ 时，函数 $u^{\mathbb C}$ 的增长由 $\mathbb H$ 上函数的 $\tau$-自守核中出现的复化规范因子的增长所支配。