导群阶为 $p^2$ 的 $p^9$ 阶、2类、指数 $p$ 群

本文讨论类至多为2且具有奇素数指数 $p$ 的有限群。如果群的中心包含在其导群内，则称该群为特殊群。每个类为2且指数为 $p$ 的群都可以唯一地表示为一个初等交换群和一个特殊群的直积。这将同构问题归结为特殊群的问题。具有循环导群 $G'$ 的特殊群是众所周知的。已知满足 $|G'|=p^2$ 的群由两个交换子群生成。因此，它们可以用一对我们将要定义的 Scharlau 矩阵来描述。利用这些矩阵，Vishnevetskii ([1], [2]) 对那些不是较小阶群中心积的特殊群进行了分类。我们称这些群为 Vishnevetskii 不可分解群。所有可分解群都是两个或多个不可分解群的中心积。根据 [2] 中的定理2，如果 $G$ 是导群阶为 $p^2$ 的特殊群，那么 $G$ 的不可分解中心因子及其重数构成 $G$ 的一组不变量。然而这些不变量并不能确定 $G$，因为（如下文所示）两个非同构群可以具有相同的不可分解中心因子。指数为 $p$ 且阶整除 $p^8$ 的群已在文献中给出。本文证明了存在六种导群 $|G'|=p^2$ 的 $p^9$ 阶特殊群的同构类型，并列出了它们。我们还将介绍一种利用边上带流的有向图来表示指数为 $p$ 的2类群的方法。该有向图是紧凑的，并且一眼就能给出关于该群的大量结构信息，同时完全定义了该群。文中还将描述一些群不变量，它们易于从有向图中计算，并可直接用于区分小阶群的同构类型。