通过双重外推法研究弱耦合下 $\delta$-玻色气体和费米气体的基态能量

我们考虑弱耦合 regime $\gamma\to0$ 下具有 $\delta$ 相互作用的 Lieb-Liniger 气体的基态能量。对于具有排斥相互作用的玻色子，先前的研究给出了展开式 $e_{\text{B}}(\gamma)\simeq\gamma-4\gamma^{3/2}/3\pi+(1/6-1/\pi^{2})\gamma^{2}$。利用对离散化为 $M$ 个点且具有有限相互作用强度 $\gamma$ 的 Lieb-Liniger 积分方程的数值解，我们在对 $M$ 和 $\gamma$ 进行外推后获得了后续阶数的极高精度数值结果。展开式中 $\gamma^{5/2}$ 的系数被发现约为 $-0.00158769986550594498929$，所示各位数字均准确。该值得到了对 $N$ 个粒子的 Bethe 方程进行数值解并随后对 $N$ 和 $\gamma$ 进行外推的支持。G. Lang 将其识别为 $(3\zeta(3)/8-1/2)/\pi^{3}$。接下来的两个系数也是从数值结果中推测得出的。对于具有吸引相互作用的平衡自旋 $1/2$ 费米子，迄今为止基态能量的最佳结果为 $e_{\text{F}}(\gamma)\simeq\pi^{2}/12-\gamma/2+\gamma^{2}/6$。类似的双重外推方案导出了 $\gamma^{3}$ 系数的值为 $-\zeta(3)/\pi^{4}$。