Greenberg 猜想与实数二次域的 Iwasawa 模块 I

本文的主要目标是研究实数二次域的 Greenberg 猜想。更准确地说，我们提出以下问题：哪些实数二次数域 $k$ 使得 ${\rm rank}(A(k_∞)) = {\rm rank}(A(k_1))$？其中，$A(k_∞)$ 是 $k$ 的 $2$-Iwasawa 模块，$A(k_1)$ 是 $k_1$ 的 $2$-类群，$k_1$ 是 $k$ 的第一个 cyclotomic $\mathbb Z_2$-extension。此外，我们给出了若干实数二次域 $k$ 的 family，使得 $A(k_∞)$ 为 trivial 或 $\mathbb Z/2^{n} \mathbb Z$ 或 $\mathbb Z/2\mathbb Z \times\mathbb Z/2^n \mathbb Z$，其中 $n$ 为给定的正整数。读者还可以找到关于 certain 实数三次域 $2$-类群的 $2$-rank 的一些结果。