粘合 Eguchi-Hanson 度量与 Page 的问题

1978 年，Gibbons-Pope 和 Page 基于一种粘合构造，提出了 K3 曲面上 Ricci 平坦 Kähler 度量的物理图景。在该构造中，从一个带有 $16$ 个轨形点的平坦环面出发，通过粘合 $16$ 个具有相同定向的小 Eguchi-Hanson 流形来消解轨形奇点。该构造已由 Topiwala、LeBrun-Singer 和 Donaldson 严格完成。1981 年，Page 提出是否可以通过反转部分 Eguchi-Hanson 流形的定向来修改上述构造。这是一个微妙的问题：如果成功，该构造将产生既非 Kähler 也非自对偶的 Einstein 度量。在本文中，我们关注一种具有最大对称性的构型，涉及按棋盘模式排列的每种定向各 $8$ 个小 Eguchi-Hanson 流形。通过分析具有相反定向的 Eguchi-Hanson 流形之间的相互作用，我们识别出粘合问题的一个非零障碍，从而打破了以这种方式产生零 Ricci 曲率度量的希望。利用该障碍，只要 Eguchi-Hanson 流形保持较小，我们就能够理解此类度量在 Ricci 流下的动力学行为。特别地，对于上述构型，我们得到了 Ricci 流的一个古老解，其 Riemann 曲率张量的最大值以 $(-t)^{\frac{1}{2}}$ 的速率爆破，而 Ricci 曲率的最大值收敛至 $0$。