紧致 Spin(7)-流形的粘合构造

我们给出基于 Joyce 在 \cite{Joyce00} 中第二种紧致 Spin(7)-流形构造以及 Kovalev 在 \cite{Kovalev03} 中 G_2-流形粘合构造的、具有和乐群 Spin(7) 的紧致流形的微分几何构造。我们还给出一些紧致 Spin(7)-流形的例子，其中至少一个为新的。我们构造中的要素是带有相容反全纯对合的轨道折叠可容许对。本文中我们需要由四维紧致 Kähler 轨道折叠 $\overline{X}$（其孤立奇点模型为 $\mathbb{C}^4/\mathbb{Z}_4$）及其上光滑反典则除子 $D$ 组成的轨道折叠可容许对 $(\overline{X}, D)$。还需要 $\overline{X}$ 上固定 $\overline{X}$ 中奇点且在反典则除子 $D$ 上自由作用的相容反全纯对合 $\sigma$。若两个轨道折叠可容许对 $(\overline{X}_1, D_1)$, $(\overline{X}_2, D_2)$（$\dim_{\mathbb{C}} \overline{X}_i = 4$）及 $\overline{X}_i$ 上相容反全纯对合 $\sigma_i$ 满足粘合条件，我们可将 $(\overline{X}_1 \setminus D_1)/\braket{\sigma_1}$ 与 $(\overline{X}_2 \setminus D_2)/\braket{\sigma_2}$ 粘合得到紧致黎曼 8-流形 $(M, g)$，其和乐群 $\mathrm{Hol}(g)$ 包含于 $\mathrm{Spin}(7)$。进一步，若 $M$ 的 $\widehat{A}$-亏格等于 $1$，则 $M$ 为 Spin(7)-流形，即具有和乐群 Spin(7) 的紧致黎曼流形。我们将利用 $D_1=D_2=D$ 且 $D$ 为加权射影空间中完全交的情形，以及 $(\overline{X}_1,D_1)=(\overline{X}_2,D_2)$ 且 $\sigma_1=\sigma_2$（倍化情形）的轨道折叠可容许对 $(\overline{X}_i,D_i)$ ($i=1,2$) 研究我们的粘合构造。