Calabi-Yau 三维流形的加倍构造

我们给出了 Calabi-Yau 三维流形的微分几何构造及实例，其中至少一个是新的。我们构造中的要素是容许对 (admissible pairs)，这是 Kovalev 在 \cite{K03} 中处理并由 Kovalev 和 Lee 在 \cite{KL11} 中进一步研究的对象。一个容许对 $(\overline{X},D)$ 由一个三维紧致 K\"{a}hler 流形 $\overline{X}$ 和其上的一个光滑反规范 $K3$ 除子 $D$ 组成。如果两个容许对 $(\overline{X}_1,D_1)$ 和 $(\overline{X}_2,D_2)$ 满足粘合条件 (gluing condition)，我们可以将 $\overline{X}_1\setminus D_1$ 和 $\overline{X}_2\setminus D_2$ 粘合在一起以获得一个 Calabi-Yau 三维流形 $M$。特别地，如果 $(\overline{X}_1,D_1)$ 和 $(\overline{X}_2,D_2)$ 等同于同一个容许对 $(\overline{X},D)$，则粘合条件自动成立，因此我们可以通过对单个容许对 $(\overline{X},D)$ 进行加倍 (doubling) 来构造 Calabi-Yau 三维流形。此外，我们可以计算加倍构造中所得 Calabi-Yau 三维流形的所有 Betti 数和 Hodge 数。