正扭动 Green-Griffiths 束的全局截面

给定各种 jet 阶数 $k$ 和权重 $n$，记 $\mathbb{P}^N (\mathbb{C})$ 上的 Green-Griffiths 束为 $E_{k,n}^{\rm GG}$。记 $\mathbb{P}^N (\mathbb{C})$ 上的 tautological 线束为 $\mathcal{O} (d)$。虽然仅负扭动对复杂曲率（高类型射影子流形 $Y \subset \mathbb{P}^N (\mathbb{C})$）的应用至关重要，但已知正扭动 $E_{k,n}^{\rm GG} \otimes \mathcal{O} (d)$ 具有非平凡的全局截面。本文中，我们证明：对于每一个 $d \geqslant 1$ 且每一个 jet 阶数 $k \geqslant d-1$：$$\dim\, H^0 \bigg( \mathbb{P}^N,\,\, \bigoplus_{n=1}^{\infty} E_{k, n}^{\text{GG}} \otimes \mathcal{O}(d) \bigg) = (N+1)^d.$$ 这一定理实际上是 Etesse 最近工作的一个推论，后者从微分同质多项式的视角，对所谓的 Schmidt-Kolchin-Reinhart 猜想作出证明，借助（高级的）表示论。正如 Etesse 发现的那样，Green-Griffiths 束与该猜想之间存在（简单）紧密联系，两者实际上是等价的。我们的目标是从 Green-Griffiths 的视角出发，建立上述精确维数估计的另一种证明。更具体地说，我们给出所有相关全局截面的显式描述。我们的论证是初等的，仅使用行列式、线性代数和单项式排序。一个古老的希望是发现关于负扭动 Green-Griffiths 束在射影一般类型子流形 $Y \subset \mathbb{P}^N (\mathbb{C})$ 上的全局截面的显式公式，这仍是一个开放问题。