一类散度问题的全局梯度估计及其在磁悬浮液均匀化中的应用

本文推广了作者在 \cite{dangHomogenizationNondiluteSuspension2021} 中获得的关于黏性流动中磁性颗粒非稀释悬浮液均匀化的结果。更具体地，本文放宽了 \cite{dangHomogenizationNondiluteSuspension2021} 中对耦合方程系数所做的一项限制性假设——该假设严重缩小了所得均匀化结果的适用范围，并证明了细尺度问题解的新正则性。特别地，我们对标量方程 $-\mathrm{div} \left[ \mathbf{a} \left( x/\varepsilon \right)\nabla \varphi^{\varepsilon}(x) \right] = f(x)$ 的解的梯度获得了全局 $L^{\infty}$ 估计，该估计在微小区间 $(0,\varepsilon_0)$ 内关于微结构尺度参数 $\varepsilon\ll 1$ 一致成立，其中系数 $\mathbf{a}$ 仅是分段 Hölder 连续的。此后，该正则性被用于推导 \cite{dangHomogenizationNondiluteSuspension2021} 中所讨论的给定悬浮液的有效响应。