稳定性条件上的全局维数函数与 Gepner 方程

我们研究三角范畴 $\mathcal{D}$ 上 Bridgeland 稳定性条件空间的一个商空间上的全局维数函数 $\operatorname{gldim}\colon\operatorname{Aut}\backslash\operatorname{Stab}\mathcal{D}/\mathbb{C}\to\mathbb{R}_{\ge0}$，以及 Toda 的 Gepner 方程 $\Phi(\sigma)=s\cdot\sigma$（其中 $\sigma\in\operatorname{Stab}\mathcal{D}$ 且 $(\Phi,s)\in\operatorname{Aut}\mathcal{D}\times\mathbb{C}$）。对于 Dynkin 箭图 $Q$ 的有界导出范畴 $\mathcal{D}^b(\mathbf{k} Q)$，我们证明 $\operatorname{gldim}$ 存在唯一极小点 $\sigma_G$（模 $\mathbb{C}$ 作用），其值为 $1-2/h$，它是 Gepner 方程 $\tau(\sigma)=(-2/h)\cdot\sigma$ 的解。此处 $\tau$ 为 Auslander-Reiten 函子，$h$ 为 Coxeter 数。该解 $\sigma_G$ 由 Kajiura-Saito-Takahashi 构造。我们还证明，对于非 Dynkin 无圈箭图 $Q$，$\operatorname{gldim}$ 的极小值为 $1$。我们的理念是，$\operatorname{Stab}\mathcal{D}$ 上 $\operatorname{gldim}$ 的下确界即为三角范畴 $\mathcal{D}$ 的全局维数。我们解释了这一概念如何能阐明稳定性条件空间的可缩性猜想。