$\beta = 2$ Stieltjes--Wigert随机矩阵系综的全局与局部标度极限

高斯酉系综的特征值概率密度函数（PDF）与具有对势$- \log | x - y|$并被一体谐波势约束的经典对数气体玻尔兹曼因子有众所周知的类比。一种推广是将对势替换为$- \log |\sinh (\pi (x-y)/L) |$。所得PDF最早出现在统计物理文献中，与非相交布朗游走者在$t=0$时刻等间距分布有关，随后出现于Calogero-Sutherland型量子多体系统研究以及Chern-Simons场论中。它是基于Stieltjes--Wigert多项式的行列式点过程的一个例子。我们着手解决确定该系综矩的问题，并找到以特定little $q$-Jacobi多项式表示的精确表达式。由其大$N$形式可计算全局密度。已有工作以Ramanujan（$q$-Airy）函数给出了关联核的边缘标度极限。我们展示了在特定的$L \to \infty$标度极限下，其如何退化为Airy核。