带漂移的非碰撞布朗运动与含时 Stieltjes-Wigert 行列式点过程

利用 Biane、Bougerol 和 O'Connell 的行列式公式，我们给出了粒子数有限情形下带漂移的非碰撞布朗运动的多时刻联合概率密度。我们研究了一种特殊情况，即粒子的初始位置以周期 $a$ 等距分布，且漂移系数值以尺度 $\sigma$ 良好排序。我们证明，在任意时刻 $t >0$，该粒子系统的单时刻概率密度可精确变换为 Dolivet 和 Tierz 在 Chern-Simons 理论中引入的双正交 Stieltjes-Wigert 矩阵模型。在此过程中，Stieltjes-Wigert 多项式的单参数扩展（$\theta$-扩展）起到了本质作用，而这些多项式本身又是 Hermite 多项式的 $q$-扩展。该过程的两个参数 $a$ 和 $\sigma$ 结合时间 $t$ 被映射为双正交多项式的参数 $q$ 和 $\theta$。通过对我们概率密度归一化因子的变换，可直接获得 Chern-Simons 矩阵模型的配分函数。我们研究了该矩阵模型的行列式结构，并证明在任意时刻 $t >0$，当前的带漂移非碰撞布朗运动是一个行列式点过程，即任意关联函数均由一个称为关联核的单一积分核所控制的行列式给出。利用所获得的关联核，我们研究了带漂移非碰撞布朗运动的时间演化。