GLL 类型非单调下降方法在庞加莱-奥亚斯维奇属性下重新审视

本文旨在将经典GLL类型（Grippo-Lampariello-Lucidi）非单调方法的全局收敛结果扩展至非凸且非光滑的优化问题。我们提出了一种用于最小化严格下半连续函数 $\Phi$ 的新型迭代框架。该框架包括：对序列施加GLL类型非单调减小条件、对其增广序列施加与庞加莱-奥亚斯维奇 (KL) 函数 $\Theta$ 之间的相对误差条件，以及对部分最大目标值序列施加相对间隙条件。最后一条件被证明等价于 $\Phi$ 在聚点集合上的近凸性，且在目标值序列满足某些温和条件时可自动获得。我们证明，对于落入该框架内的任意序列及其有界增广序列，序列本身必收敛。进一步地，当 $\Theta$ 为指数为 $\theta\in(0, 1)$ 的KL函数时，若 $\theta\in(0, 1/2]$，则收敛具有线性收敛率；若 $\theta\in(1/2, 1)$，则收敛具有亚线性收敛率。作为应用，我们首次证明，两种现有算法，即带Majorization的非单调梯度法(NPG)以及NPG的外推法，均可在非凸且非光滑的KL复合优化问题中实现迭代序列的全局收敛。