Kurdyka-Łojasiewicz优化的超线性收敛框架

本文推广了Attouch等人（Math. Program. 137: 91-129, 2013）提出的用于最小化非凸非光滑函数$\Phi$的迭代框架，使得所生成的序列具有Q-超线性收敛速率。该框架由一个单调下降条件、一个相对误差条件和一个连续性条件组成，且前两个条件均涉及参数$p>0$。我们证明当$\Phi$为Kurdyka-Łojasiewicz（KL）函数时，任何符合该框架的序列均全局收敛；而当$\Phi$为指数$\theta\in(0,\frac{p}{p+1})$的KL函数时，收敛具有阶数为$\frac{p}{\theta(1+p)}$的Q-超线性速率。进而，我们说明对于带有非凸非光滑项的复合优化问题，由不精确$q\in[2,3]$阶正则化方法生成的迭代序列属于该框架，并由此首次获得了不精确三次正则化方法在求解该类具有指数$1/2$的KL性质的复合问题时阶数为$4/3$的Q-超线性收敛速率。