GKM 空间与 nabla 算子的符号正性

我们证明，由 Goreski、Kottwitz 和 MacPherson 研究的某类正 $GL_n$-版本的非分歧仿射 Springer 纤维 $Z_k$ 的等变 Borel-Moore 同调的 Frobenius 特征标，可由 $\nabla^k$-算子的矩阵系数计算，该算子在修正的 Macdonald 基下对角作用。我们通过将先前文章中得到的 $\nabla^k$-算子的组合公式与 $Z_k$ 的 GKM 铺砌联系起来完成这一证明，并给出了上述同调作为 Kostant-Kumar 幂零 Hecke 代数的一个显式子模的代数表示。随后，我们研究了 $Z_k$ 中的一个特定开子集 $U_k$，并将 Bergeron、Garsia、Haiman 和 Tesler 关于 $\nabla^k$ 的 Schur 展开系数符号的一个长期猜想，归结为关于 $U_k$ 同调群的一个消失性猜想。后一猜想又进一步归结为关于由部分 Dyck 路径索引的正则半单 Hessenberg 簇的某些开子集的消失性猜想。