划分与染色模型中的Gibbs性与非Gibbs性

对于参数 $p\in[0,1]$ 和 $q>0$，若 $\mathbb{Z}^d$ 上以 $p$ 和 $q$ 为参数的 Fortuin--Kasteleyn (FK) 随机团簇测度 $\Phi_{p,q}^{\mathbb{Z}^d}$ 是唯一的，则 $\mathbb{Z}^d$ 上的 $q$-划分与染色 [$\operatorname {DaC}(q)$] 模型定义如下。首先，我们抽取一个服从分布 $\Phi_{p,q}^{\mathbb{Z}^d}$ 的键构型。然后，对于每个 (FK) 团簇（即 FK 团簇中的每个顶点），针对不同的 FK 团簇独立地，我们以自旋 $i$ 具有概率 $a_i$ 的方式从集合 $\{1,2,\...,s\}$ 中分配一个自旋值。在本文中，我们证明了所得的自旋构型测度在 $p$ 值较小时为 Gibbs 测度，在 $p$ 值较大时不是 Gibbs 测度，除了 $q\in \{2,3,\...\}$ 且 $a_1=a_2=\...=a_s=1/q$ 的特殊情况，此时 $\operatorname {DaC}(q)$ 模型与 $q$ 态 Potts 模型一致。