来自玻尔兹曼理论的幽灵效应：带余项的展开

考虑稳态玻尔兹曼问题当$\varepsilon\rightarrow0$时的极限 \begin{align} v\cdot\nabla_x\mathfrak{F}=\varepsilon^{-1}Q[\mathfrak{F},\mathfrak{F}],\quad \mathfrak{F}\big|_{v\cdot n<0}=M_w\displaystyle\int_{v'\cdot n>0} \mathfrak{F}(v')|v'\cdot n|\mathrm{d}{v'}, \end{align} 其中$\displaystyle M_w(x_0,v):=\frac{1}{2\pi\big(T_w(x_0)\big)^2} \exp\bigg(-\frac{|v|^2}{2T_w(x_0)}\bigg)$（$x_0\in\partial\Omega$）为漫反射边界条件中的壁面Maxwell分布。在$|\nabla T_w|=O(1)$的自然情形下，对任意常数$P>0$，Hilbert展开给出 \begin{align}\label{expansion} \mathfrak{F}\approx \mu+\varepsilon\bigg\{\mu\bigg(\rho_1+u_1\cdot v+T_1\frac{|v|^2-3T}{2}\bigg)-\mu^{\frac{1}{2}}\left(\mathscr{A}\cdot\frac{\nabla_xT}{2T^2}\right)\bigg\} \end{align} 其中$\displaystyle\mu(x,v):=\frac{\rho(x)}{\big(2\pi T(x)\big)^{\frac{3}{2}}} \exp\bigg(-\frac{||v|^2}{2T(x)}\bigg)$，且$(\rho,u_1,T)$由带“幽灵”效应的Navier-Stokes-Fourier系统确定。本文目标是将$\mathfrak{F}$构造为 \begin{align}\label{aa 08} \mathfrak{F}(x,v)=&\mu+\mu^{\frac{1}{2}}\Big(\varepsilon f_1+\varepsilon^2f_2\Big)+\mu_w^{\frac{1}{2}}\Big(\varepsilon f^B_1\Big)+\varepsilon^{\alpha}\mu^{\frac{1}{2}}R, \end{align} 的形式，其中$f_1$、$f_2$为内部解，$f^B_1$为边界层，$\mu_w$为取$T=T_w$时计算的$\mu$，并推导余项$R$满足的方程（其中$\alpha\geq1$为某常数）。为证明展开的有效性，需要对$R$有适当的估计，这由 companion paper [Esposito-Guo-Rossana-Wu2023] 给出。