来自玻尔兹曼理论的幽灵效应

在给定壁温分布的气体中自然发生的“幽灵效应”[Maxwell1879]，展现了超越经典流体理论与傅里叶定律预测的罕见动理学效应，出现于这一经典物理问题中。当 Knudsen 数 $\varepsilon$ 趋于零时，体区中温度的有限变化由 $\varepsilon$ 无穷小、幽灵般的流速场决定，该流场由给定的切向壁温有限变化按 Maxwell 滑移边界条件所预言。在数学上，如此有限变化导致基础能量估计中出现严重的 $\varepsilon^{-1}$ 奇异性及 Knudsen 层近似。这两重困难均超出已有关于一般三维有界域中稳态玻尔兹曼方程的 PDE 理论所能处理的范围。因此，尽管早在 1960 年代就发现了这种由温度变化引起的幽灵效应，其数学有效性一直是一个充满挑战且引人入胜的开放问题，并引发困惑与质疑。我们在温度变幅小而有限的情形下以肯定方式解决了该开放问题，为此发展了具有四项主要创新的新型 $L^2-L^6-L^{\infty}$ 框架：1）关键的 $\mathscr{A}$-Hodge 分解及其相应的局部 $\mathscr{A}$-守恒律消除了严重的 $\varepsilon^{-1}$ 体区奇异性，导出约化能量估计；2）通过动量守恒与对偶 Stokes 解在 $L^2$ 中获得惊人的 $\varepsilon^{\frac{1}{2}}$ 增益；3）$\mathscr{A}$-守恒、能量守恒与耦合的对偶 Stokes-Poisson 解将奇异性降为 $\varepsilon^{-\frac{1}{2}}$ 边界奇异性；4）通过新的 Hardy 与 BV 估计，构造关键的 $\varepsilon$-截断边界层以消除该边界奇异性。