关于环境向量场的子流形几何

给定一个黎曼流形 $N^n$ 和 ${\cal Z}\in \mathfrak{X}(N)$，一个等距浸入 $f\colon M^m\to N^n$ 被称为具有关于 ${\cal Z}$ 的恒定比率性质，如果 ${\cal Z}$ 的切向分量 ${\cal Z}^T_f$ 恒为零，或者 ${\cal Z}^T_f$ 处处非零且 ${\cal Z}$ 的法向与切向分量长度之比 $\|{\cal Z}^\perp_f\|/\|{\cal Z}^T_f\|$ 沿 $M^m$ 为常数。若 ${\cal Z}^T_f$ 在 $M^m$ 的所有点处都是 $f$ 的所有形状算子的特征向量，则称其具有关于 ${\cal Z}$ 的主方向性质。本文研究任意余维数的等距浸入 $f\colon M^m\to N^n$，这些浸入在空间形式、乘积空间 $\Sf^n\times \R$ 和 $\Hy^n\times \R$（其中 $\Sf^n$ 和 $\Hy^n$ 分别为 $n$ 维球面和双曲空间），以及更一般地在开区间 $I\subset \R$ 与空间形式 $\Q_\e^n$ 的卷曲乘积 $I\times_{\rho}\Q_\e^n$ 上，关于特定向量场 ${\cal Z}$ 具有恒定比率性质或主方向性质。基于这些性质在环境度量共形变换下不变这一观察，我们为满足上述一种或同时满足两种性质的等距浸入提供了新的刻画和分类结果，涵盖若干相关的 ${\cal Z}$ 实例，并对许多作者先前考虑过的 ${\cal Z}$ 特例给出了更简洁的描述和证明。