Kirkwood-Dirac经典态的几何：基于离散傅里叶变换的案例研究

Kirkwood-Dirac (KD) 经典性或非经典性的表征在量子信息处理中非常重要。一般而言，关于两个基的KD经典态集合并非凸多胞体 [J. Math. Phys. \textbf{65} 072201 (2024)]，这使我们有兴趣找出在何种情况下它们确实构成多胞体。本文聚焦于混合态KD经典性的表征，研究两个基之间的转移矩阵为离散傅里叶变换 (DFT) 矩阵的情形，其Hilbert空间维度分别为 $p^2$ 和 $pq$，其中 $p, q$ 为素数。在我们研究的两个特例中，极值点集合是有限的，这意味着我们所表征的KD经典态集合构成了凸多胞体。我们证明，对于 $p^2$ 维系统，基于DFT，集合 $\rm{KD}_{\mathcal{A},\mathcal{B}}^+$ 是集合 $\rm {pure}({\rm {KD}_{\mathcal{A},\mathcal{B}}^+})$ 的凸包，其中 $\rm{KD}_{\mathcal{A},\mathcal{B}}^+$ 是关于两个基的KD经典态集合，而 $\rm {pure}({\rm {KD}_{\mathcal{A},\mathcal{B}}^+})$ 是关于两个基的KD经典纯态的所有秩一投影算符的集合。在 $pq$ 维系统中，我们认为该结论同样成立。遗憾的是，我们未能完全证明这一点，但获得了关于KD经典性表征的一些有意义的结论。