刻画 Kirkwood-Dirac 正定态的几何结构

Kirkwood-Dirac（KD）准概率分布可针对两个可观测量 $A$ 和 $B$ 的本征基描述任意量子态。KD 分布的行为类似于经典联合概率分布，但可取负值和非实数值。近年来，KD 分布已被证明在刻画非经典现象和量子优势方面具有重要作用。这些量子特征已与 KD 分布的非正项相关联。因此，理解 KD 正定与非正定态的几何结构十分重要。迄今为止，尚无对混合态 KD 正定性的透彻分析。在此，我们刻画具有正 KD 分布的态的完整凸集如何依赖于 $A$ 和 $B$ 的本征基。特别地，我们确定了三种 regime，其中 $A$ 和 $B$ 的本征投影算符的凸组合构成唯一的 KD 正定态：$(i)$ 维度 $2$ 中的任意系统；$(ii)$ 维度 $3$ 中本征基的一个开稠密集；以及 $(iii)$ 素数维度中的离散傅里叶变换基。最后，我们研究是否存在无法写为纯 KD 正定态凸组合的混 KD 正定态。我们表明，对于某些可观测量 $A$ 和 $B$ 的选择，这一现象确实会发生。我们显式构造了自旋为 $1$ 系统的此类态。