具有极小水平球面的渐近调和流形的几何

设 $(M^n,g)$ 为无共轭点的完备黎曼流形。本文中，我们证明若 $M$ 同时是单连通的，则只要 $M$ 还是具有极小水平球面的渐近调和流形（AHM），$M$ 就是平坦的。$M$ 的（一阶）平坦性通过最强准则得到：设 $\{e_i\}$ 为 $T_{p}M$ 的标准正交基，$\{b_{e_{i}}\}$ 为 $M$ 上相应的 Busemann 函数。则 (1) 向量空间 $V = span\{b_{v} | v \in T_{p}M \}$ 是有限维的且 dim $V =$ dim $M = n$。(2) 对任意 $p \in M$，$\{\nabla b_{e_i}(p) \}$ 是 $T_{p}M$ 的全局平行标准正交基。因此 $M$ 是可平行化流形。且 (3) 由 $F(x) = (b_{e_1}(x), b_{e_{2}}(x), \cdots, b_{e_{n}}(x))$ 定义的 F : M -> R^n 是一个等距映射，从而 $M$ 是平坦的。进而，AH 流形可以具有多项式或指数体积增长，推广了 [18] 中关于调和流形的相应结果。对于具有极小水平球面的调和流形（HM），其（二阶）平坦性在 [23] 中通过证明 $span\{b_{v}^2 | v \in T_{p}M \}$ 有限维得到。我们得出结论：与已知的 AH 调和流形相比，本文所得结果最强且更广。事实上，我们的证明展示了更一般的结果，即：若 (M,g) 是非紧、完备、连通、注入半径无穷且体积增长次指数的黎曼流形，则 M 是一阶平坦流形。