从测地线出发的几何：精细调整 Ehlers、Pirani 和 Schild 的工作

Ehlers、Pirani 和 Schild 认为，对零测地线和类时测地线的测量分别产生 Weyl 和射影联络，在光速极限下的兼容性给出可积 Weyl 联络。他们的结论仅适用于零锥上共形联络的 4 维表示，并通过限制类时测地线的重参数化以得到无挠仿射联络。任意联络给出更大自由度。零测地线共形对称性的线性联络需要 SO(4,2) 表示。类时测地线的射影变换的扩大类改变了 Weyl 射影曲率，我们找到了挠率和非度量的不变形式，以及一个新的不变二阶张量场，推广了无需度量的膨胀曲率。我们证明，射影或共形联络都需要一个在时空区域上的单调、二次可微函数，该区域由序同构、全序、二次可微类时曲线分层，且必然具有洛伦兹几何。我们证明射影和共形 Ricci 平坦的条件相互蕴含，并且两者中的规范选择可以将几何简化为原始黎曼形式。因此，零和类时测地线的测量导致 SO(4,2) 联络，不需要光速极限。简化为可积 Weyl 对称性只能来自引力理论的场方程。我们证明最简单的二次时空作用导致这种简化。