$G_2$ 模ody 空间的几何与周期

本文关注关于紧致 $G_2$ 流形 $M$ 上的齐次自由 $G_2$ 结构调和空间 $\mathscr{M}$ 的几何性质，其中配备着体积归一化的 $L^2$ 度规 $\mathscr{G}$。当 $b^1(M) = 0$ 时，该度规已知为 Hessian 类型且存在全局势函数。我们给出该几何的一个新描述，基于将调和空间自然浸入齐次空间 $\mathfrak{D}$ 的观察，其中 $\mathfrak{D}$ 与 $GL(n+1)/ (\{\pm 1\} \times O(n))$ 同胚，$n = b^3(M) - 1$。我们指出，这种浸入 $\Phi : \mathscr{M} \rightarrow \mathfrak{D}$ 的形式性性质类似于 Calabi-Yau 三维流形调和空间上定义的周期图。为了理解 $\mathscr{G}$ 的曲率，我们还推导了势函数第四导数的新公式，并将其与 $\Phi(\mathscr{M}) \subset \mathfrak{D}$ 的第二基本形相关联。