基于黎曼流形上带Cartan结构方程的测地线方程的几何动力学

受作为黎曼几何中新变量的地旋矩阵 $W$ 的启发。随后，我们使用四个实动力学变量 $\left\{ a,\alpha ,v,W \right\}$ 来展示 Cartan 结构方程的动力学本质，得到了可表达如下的黎曼流形上的几何动力学 \begin{align} & \Theta /d{{t}^{2}}=a-v\wedge W,\nonumber & d\Theta /d{{t}^{3}}=v\wedge \alpha -a\wedge W,\nonumber & \Omega /d{{t}^{2}}=\alpha -W\wedge W, \nonumber & d\Omega /d{{t}^{3}}=W\wedge \alpha -\alpha \wedge W\nonumber \end{align} 该式对任意主丛中的联络普遍成立。我们可以看到第一个方程很好地解释了测地线方程，第二个公式意味着第一 Bianchi 恒等式，而最后一个方程揭示了第二 Bianchi 恒等式的动力学性质。这意味着黎曼流形上的 Cartan 结构方程可以基于地旋矩阵改写为实几何动力学形式。