正 torus 上的随机检查板的几何量

在波动方程的可观测性研究中（此处的波动方程为$(0,T)\times \mathbb{T}^d$，其中$\mathbb{T}^d$为d维环面），自然会出现一个充分的可观测性条件。该条件表示为$\ell^T\left(\omega\right) > 0$，意味着在时间$T$内，几何学上，位于子集$\omega\subset \mathbb{T}^d$中的最小时间为非零。换言之，子集$\omega$在时间$T$内检测任何在d维环面上传播的几何线。此处，子集$\omega$是通过绘制$n^d$个大小相等的小立方体的网格，并以概率$\varepsilon > 0$将其添加到$\omega$来随机定义的。在本文中，我们建立了功能$\ell^T$的概率属性：随机律$\ell^T\left(\omega_\varepsilon^n\right)$在$n \to +\infty$时以概率收敛于$\varepsilon$。通过随机子集$\omega_\varepsilon^n$可以构建出使得$\ell^T\left(\omega\right) = |\omega|$的子集$\omega$。