几何相对熵与重心 Rényi 散度

我们给出了从一组单调量子相对熵出发系统性地定义单调量子相对熵与（多变量）量子 Rényi 散度的通用方法。尽管经典相对熵的量子扩展在信息论中具有核心重要性，但迄今为止仅已知两种加性且单调的经典相对熵量子扩展，即 Umegaki 相对熵与 Belavkin-Staszewski 相对熵。本文给出了一个通用流程，可由给定的具有相同性质的单调加性量子相对熵构造出新的单调加性量子相对熵；特别地，从 Umegaki 相对熵出发时，这给出了一族在全秩态上插值于 Umegaki 与 Belavkin-Staszewski 相对熵之间的新的单参数单调加性量子相对熵族。在另一方向上，我们利用经典变分公式的推广来定义对应于任意有限量子相对熵集 $(D^{q_x})_{x\in X}$ 与带符号概率测度 $P$ 的多变量量子 Rényi 量，即 $$Q_P^{\mathrm{b},\mathbf{q}}((\rho_x)_{x\in X}):=\sup_{\tau\ge 0}\left\{\text{Tr}\,\tau-\sum_xP(x)D^{q_x}(\tau\|\rho_x)\right\}.$$ 我们证明了当 $P$ 为概率测度时，单调量子相对熵定义出单调 Rényi 量。经适当归一化后，上述量的负对数在双变量情形（$X=\{0,1\}$，$P(0)=\alpha$）下给出经典 Rényi $\alpha$-散度的量子扩展。我们证明若 $D^{q_0}$ 与 $D^{q_1}$ 均为单调加性量子相对熵，且其中至少一个严格大于 Umegaki 相对熵，则所得重心 Rényi 散度严格介于对数欧氏与极大 Rényi 散度之间，从而不同于任何此前研究过的量子 Rényi 散度。