李几何 $A_{n,\{1,n\}}(\mathbb{F})$ 的几何超平面

本文研究射影几何 $\mathrm{PG}(n,\mathbb{F})$ 的点-超平面旗的点-线几何 $\mathit{A}_{n,\{1,n\}}(\mathbb{F})$ 的超平面。我们放弃尚无力完成的完全分类，转而描述由 $\mathit{A}_{n,\{1,n\}}(\mathbb{F})$ 的自然嵌入（即给出 $\mathrm{SL}(n+1,\mathbb{F})$ 的伴随表示的嵌入）所产生的超平面。我们收集到的关于这些超平面的信息将使我们证明 $\mathit{A}_{n,\{1,n\}}(\mathbb{F})$ 的所有超平面都是 $\mathit{A}_{n,\{1,n\}}(\mathbb{F})$ 的极大子空间。$\mathit{A}_{n,\{1,n\}}(\mathbb{F})$ 的超平面也可从 $\mathrm{PG}(n,\mathbb{F})$ 的合适线散布（当然，前提是 $\mathrm{PG}(n,\mathbb{F})$ 容许线散布）出发构造。具体而言，设 $\mathfrak{S}$ 为 $\mathrm{PG}(n,\mathbb{K})$ 的满足本文将给出的若干条件（由最流行的构造所得的所有线散布均满足这些条件）的线散布。$\mathrm{PG}(n,\mathbb{F})$ 中满足超平面 $\mathit{H}$ 包含过店 $p$ 的 $\mathfrak{S}$ 的元素的旗 $(p,\mathit{H})$ 的集合是 $\mathit{A}_{n,\{1,n\}}(\mathbb{F})$ 的一个超平面。我们称这些超平面为{\em 散布型超平面}。其中许多源于自然嵌入。我们不知道是否所有散布型超平面皆如此。