李结合几何 $A_{n,\{1,n\}}(\mathbb{F})$ 的嵌入与超平面

在本文中，我们考虑射影几何 $\Sigma = PG(n,F)$ 的点-超平面旗几何 $\Gamma = A_{n,\{1,n\}}(F)$ 的一族射影嵌入。自然嵌入 $\varepsilon_{\mathrm{nat}}$ 是其中之一。它将 $\Sigma$ 的每个点-超平面旗 $(p,H)$ 映射到向量线 $\langle x\otimes\xi\rangle$，其中 $x$ 是 $p$ 的代表向量，$\xi$ 是描述 $H$ 的线性泛函。其他嵌入由 Thas 和 Van Maldeghem（2000）在 $n = 2$ 的情形下发现，后来由 De Schepper、Schillewaert 和 Van Maldeghem（2023）推广到任意 $n$。它们是通过 $F$ 的非平凡自同构对 $\varepsilon_{\mathrm{nat}}$ 作扭曲而得到的。具体地，对于 $\sigma\in Aut(F)\setminus\{\mathrm{id}_F\}$，$\varepsilon_{\mathrm{nat}}$ 被 $\sigma$ 扭曲所得的扭曲嵌入 $\varepsilon_\sigma$ 将 $(p,H)$ 映射到 $\langle x\sigma\otimes \xi\rangle$。我们将证明，当 $|Aut(F)| > 1$ 时，$\Gamma$ 的一个几何超平面 $\cal H$ 由 $\varepsilon_{\mathrm{nat}}$ 及其某个扭曲嵌入，或者由 $\varepsilon_{\mathrm{nat}}$ 的两个不同扭曲嵌入产生，当且仅当 ${\cal H} = \{(p,H)\in \Gamma \mid p\in A \mbox{ 或 } a \in H\}$ 对 $\Sigma$ 的一个可能不关联的点-超平面对 $(a,A)$ 成立。我们称这些超平面为准奇异超平面。借助这一结果，我们将证明若 $|Aut(F)| > 1$，则 $\Gamma$ 不存在绝对泛嵌入。