最快混合马尔可夫链的几何界

在最快混合马尔可夫链问题中，给定一个图 $G = (V, E)$，我们希望得到具有最小混合时间 $\tau$ 的离散时间马尔可夫链，其平衡分布在 $V$ 上均匀且非零转移概率仅出现在图的边上。众所周知，图 $G$ 上惰性随机游走的混合时间 $\tau_\textsf{RW}$ 由 $G$ 的边连通度 $\Phi$ 通过 Cheeger 不等式刻画：$\Phi^{-1} \lesssim \tau_\textsf{RW} \lesssim \Phi^{-2} \log |V|$。类似地，我们通过一个 Cheeger 型不等式刻画最快混合时间 $\tau^\star$，但针对不同的几何量，即 $G$ 的顶点连通度 $\Psi$：$\Psi^{-1} \lesssim \tau^\star \lesssim \Psi^{-2} (\log |V|)^2$。该刻画禁止了小顶点连通度图的快速混合。为绕过这一根本障碍，我们考虑 $G$ 上平衡分布不必均匀、而仅在总变差意义上与均匀分布 $\varepsilon$ 接近的马尔可夫链。我们证明总可以构造这样的链，其混合时间 $\tau \lesssim \varepsilon^{-1} (\operatorname{diam} G)^2 \log |V|$。最后，我们讨论了连续时间和时变链上的类似问题。