generic initial ideals、分级 Betti 数与 $k$-Lefschetz 性质

我们为分级 Artinian $K$-代数引入了 $k$-强 Lefschetz 性质（$k$-SLP）和 $k$-弱 Lefschetz 性质（$k$-WLP），它们是 Lefschetz 性质的推广。本文获得的主要结果如下：1. 设 $I$ 为 $R=K[x_1, x_2, x_3]$ 的分级理想，其商环 $R/I$ 具有 SLP。则 $I$ 的 generic initial ideal 是与 $R/I$ 具有相同 Hilbert 函数的唯一几乎反字典序理想。2. 设 $I$ 为 $R=K[x_1, x_2, ..., x_n]$ 的分级理想，其商环 $R/I$ 具有 $n$-SLP。假设 $R/I$ 的 Hilbert 函数的所有 $k$ 阶差分均是拟对称的。则 $I$ 的 generic initial ideal 是与 $R/I$ 具有相同 Hilbert 函数的唯一几乎反字典序理想。3. 我们给出了具有 $k$-WLP 和固定 Hilbert 函数的 Artinian $K$-代数的分级 Betti 数的一个尖锐上界。