生成子空间格、它们的直积和直幂

2008年，László Zádori 证明了有限域 $F$ 上维数至少为3的有限维向量空间 $V$ 的所有子空间构成的格 Sub$(V)$ 具有一个5元生成集；换句话说，Sub$(V)$ 是5生成的。我们证明，在每一个1生成或2生成的域上，同样的结论成立；特别地，在其素域的有限次扩张的每一个域上成立。此外，设 $F$ 为任意域，$t$ 为 $F$ 的生成集的最小基数，$V$ 为 $F$ 上的有限维向量空间，$d\geq 3$ 为 $V$ 的维数，$[d/2]$ 为 $d/2$ 的整数部分，$m$ 为使得 $m[d^2/4]\geq t$ 的最小基数。我们证明 Sub$(V)$ 是 $(4+m)$ 生成的，但它的任何生成集的大小都不小于 $m$。此外，对于许多正整数 $k$，Sub$(V)$ 的 $k$ 次直幂是 $(5+m)$ 生成的；如果 $F$ 是无限域，则对所有正整数 $k$ 成立。最后，设 $n$ 为正整数。对于 $i=1,\dots,n$，设 $p_i$ 为素数或0，$V_i$ 为特征 $p_i$ 的素域上的3维向量空间。我们证明格 Sub$(V_1)$, ..., Sub$(V_n)$ 的直积是4生成的当且仅当每个数 $p_1,\dots,p_n$ 在序列 $p_1,\dots,p_n$ 中最多出现四次。该直积以及上述任何子空间格 Sub$(V)$ 都不是3生成的。