算术函数 rd(n) 的母函数及其与卡西米尔能量的关系

我们得到了 $d$-平方和算术函数 $r_d(n)$ 的母函数 $\xi_d(\lambda)$ 的解析表达式，其中 $\lambda$ 为自由参数。原 $d$ 维无穷和被化简为含单个有限和收敛级数的公式。我们将公式与数值计算比较，表明对于不同 $d$ 值在小的 $\lambda$ 下百分比差异可忽略。$\xi_d(\lambda)$ 自然分为两项，我们表明其中一项对立方腔中无质量标量场的 $d$ 维卡西米尔能量有直接的物理应用。