Schoenberg 正定核定理的若干推广

I.J. Schoenberg 的奠基性定理刻画了单位球面 $S^{n-1}$ 上在球面自同构下不变的正定（p.d.）核。我们获得了该定理在纤维丛上正定核的两个推广。我们的第一个定理刻画了纤维为紧集与单位球面之积的丛上的不变 p.d. 核。特别地，这一结果蕴含了对 $S^{n-1}$ 与紧集之积上在球面自同构下不变的 p.d. 核的刻画。我们的第二个结果刻画了纤维为 $S^{n-1}$、底空间为 $(S^{n-1})^{r}$、映射为底空间投影的丛上的不变 p.d. 核。这类核同构于在 $(S^{n-1})^{r+2}$ 上球面自同构下不变且对每个 $Z \in (S^{n-1})^{r}$ 有 $F(\cdot,\cdot ,Z)$ 为正定的连续函数 $F$ 的集合。当 $Z$ 固定时，此类退化为在球面自同构群中 $Z$ 的稳定子下不变的 p.d. 核类。对 $r=1$，这些核曾被用于给出球码问题的上界。我们对 $r>1$ 的推广可用于构造球码大小的新上界。