RTBP 中 n-抛射-碰撞轨道的广义解析结果及分支分析

在平面圆型限制性三体问题中，对任意质量参数 $\mu \in (0,1)$ 和 $n\ge 1$，我们证明了四类 $n$-抛射-碰撞（$n$-EC）轨道的存在性，即粒子从主天体抛射出、相对于该主天体达到 $n$ 个距离极大值、最终与该主天体碰撞的轨道。此类 EC 轨道的 Jacobi 常数值形如 $C=3\mu +Ln^{2/3}(1-\mu)^{2/3}$，其中 $L>0$ 足够大但与 $\mu$ 和 $n$ 无关。为证明这一最优结果，我们采用 Levi-Civita 变换来正则化与主天体的碰撞，并在事先对构型平面和时间施加合适尺度后，使用基于特定小参数的微扰方法。该结果改进了先前仅在质量参数 $\mu>0$ 足够小时证明 $n$-EC 轨道存在的工作。本文考虑 $\mu\in (0,1)$ 和 $n\ge 1$ 的任意可能取值。此外，随着 $C$ 减小，会出现一些分支，我们首先通过数值方法进行探究，随后讨论分支 $C$ 值近似的显式表达式。最后，还详细分析了当 $\mu \to 1$ 时 $n$-EC 轨道的存在性。Hill 问题自然显现。对该问题，我们证明了四类 $n$-EC 轨道存在的解析结果，并通过数值方法描述了这些轨道及出现的分支。