广义Edgeworth展开及其在随机树轮廓中的应用

我们证明了某些随机树（包括二叉搜索树、随机递归树和平面定向随机树）的轮廓在树的大小趋于无穷时的渐近Edgeworth展开。所有这些模型均可视为单次分裂分支随机游走的特殊情形，我们也给出了该模型的Edgeworth展开。这些展开带来了关于树的众数、宽度和占据数的新结果，解决了Devroye和Hwang [Ann. Appl. Probab. 16(2): 886--918, 2006]、Fuchs、Hwang和Neininger [Algorithmica, 46 (3--4): 367--407, 2006]以及Drmota和Hwang [Adv. in Appl. Probab., 37 (2): 321--341, 2005]中提出的若干开放问题。上述结果是如下一般定理的特例与推论：对任意收敛于mod-$\phi$意义的随机或确定性函数序列 $\mathbb L_n:\mathbb Z\to\mathbb R$ 的Edgeworth展开。关于第一类Stirling数的应用将在另一篇论文中给出。