二叉搜索树与递归树的边缘树函数的极限定律

我们证明了关于二叉搜索树和随机递归树的子树函数之和的极限定理。特别是，我们给出了简单的新证明，表明在二叉搜索树和随机递归树（总大小为 $n$）中，大小为 $k=k_n$ 的边缘树数量在 $k\rightarrow\infty$ 时渐近服从泊松分布，而在 $k=o(\sqrt{n})$ 时该分布渐近服从正态分布。此外，我们对具有某些所需性质 $P$ 的大小为 $k$ 的子树数量证明了类似结果，例如某个固定子树 $T$ 的副本数量。利用 Cram\'er-Wold 装置，我们还表明这些针对不同固定子树的随机数联合收敛于多元正态分布。作为一般结果的应用，我们获得了二叉搜索树或随机递归树中 $\ell$-保护节点数量的正态极限定律。证明使用了 Devroye 表示法的新版本，以及 Stein 方法（用于正态和泊松近似）结合特定的耦合技术。