四维无势 Gauss-Bonnet 模型的一般性方面

本文刻画了具有空间曲率 $k=0$ 的四维 Gauss-Bonnet 模型的各向同性均匀解。主要假设是与 Gauss-Bonnet 项耦合的标量场 $\phi$ 没有势 [50]-[51]。描述了一些奇异解和一些永恒解。宇宙的演化由一条曲线 $\gamma=(H(\phi), \phi)$ 给出，该曲线是系数依赖于 $\phi$ 的多项式方程 $P(H^2, \phi)=0$ 的解。此外，证明了这些模型中的初始条件对演化施加了若干限制。例如，一个初始收缩的宇宙在未来所有时间都将持续收缩，而一个正在膨胀的宇宙在过去所有时间都一直在膨胀。因此，该模型不存在循环宇宙学解。这些结果是普适的，即与标量场和 Gauss-Bonnet 项之间的耦合 $f(\phi)$ 的形式无关。此外，给出了一个证明：在转折点 $\dot{\phi}\to0$ 处必然出现奇点，除非在该点哈勃常数 $H\to 0$。该证明基于模型的 Raychaudhuri 方程。本文的描述部分受文献 [32]-[34] 的启发。然而，所采用的数学方法与这些参考文献中的方法互补，可能有助于未来研究更复杂的情况。