高斯自由场光锥与SLE$_\kappa(\rho)$

我们推导了 SLE$_{\kappa}(\rho)$ 过程与高斯自由场 (GFF) 光锥之间令人惊讶的对应关系。回顾一下,(单侧、弦、原点播种的) SLE$_\kappa(\rho)$ 过程在某种意义上是 Schramm-Loewner 演化最简单且最自然的变体。它们最初仅对 $\rho > -2$ 定义,但可以使用 Lévy 补偿将定义扩展到任何 $\rho > -2-\tfrac{\kappa}{2}$,并获得性质上不同的曲线。三角形区域 $T = \{(\kappa, \rho): (-2-\tfrac{\kappa}{2})\vee (\tfrac{\kappa}{2}-4) < \rho < -2 \}$ 是本文的主要焦点。当 $(\kappa, \rho) \in T$ 时,尽管 $\kappa < 4$,SLE$_\kappa(\rho)$ 曲线是高度非简单的(且二重点稠密)。设 $h$ 为 GFF 的一个实例。固定 $\kappa\in (0,4)$ 且 $\chi = 2/\sqrt{\kappa} - \sqrt{\kappa}/2$。回顾一下,虚几何射线是 $e^{i(h/\chi +\theta)}$ 的流线,在局部看起来像 SLE$_\kappa$。参数为 $\theta \in [0, \pi]$ 的光锥是原点可通过一系列角度在 $[-\theta/2, \theta/2]$ 内的射线到达的点的集合。当 $\theta=0$ 时,光锥看起来像 SLE$_\kappa$;当 $\theta = \pi$ 时,它看起来像 SLE$_{16/\kappa}$ 的像集。我们发现,当 $\theta \in (0, \pi)$ 时,光锥要么是具有稠密孔洞的分形地毯,要么是没有孔洞的空间填充区域。我们证明了每个非空间填充光锥(其中 $\theta \in (0,\pi]$ 且 $\kappa \in (0,4)$)在分布上与 $(\kappa, \rho) \in T$ 的 SLE$_\kappa(\rho)$ 过程的像集一致。反之,任何 $(\kappa,\rho) \in T$ 的 SLE$_\kappa(\rho)$ 的像集在分布上与非空间填充光锥一致。作为推论,我们首次证明了这些 SLE$_\kappa(\rho)$ 过程是连续的,并表明它们是 GFF 的自然的路径值函数。