高斯解析函数与Dirichlet型算子符号

设 $\calH$ 为一个可分的无限维 $\C$-线性 Hilbert 空间,具有半双线性内积 $\langle\cdot,\cdot\rangle_\calH$。给定 $\calH$ 中任意两个正交规范系 $x_1,x_2,x_3,\ldots$ 与 $y_1,y_2,y_3,\ldots$,我们证明加权求和 $$S(l):=\sum_{j,k:j+k=l}\bigg(\frac{l}{jk}\bigg)^{\frac12}\, \langle x_j,y_k\rangle_{\calH}$$ 在平均意义下满足 $|S(l)|^2\lessapprox2$。Zachary Chase 给出的一个构造表明,若将常数 $2$ 替换为更小的数 $1.72$,该结论不再成立。在该构造中,系统 $y_1,y_2,y_3,\ldots$ 是系统 $x_1,x_2,x_3,\ldots$ 的一个排列。我们用两个高斯解析函数副本之间的关联 $\expect \Phi(z)\Psi(z)$ 来解释我们的界,这两个副本之间可能具有复杂的高斯相关结构。我们所研究的高斯解析函数与经典的 Dirichlet 空间相关,该空间自然具有 M"obius 不变性。对关联 $\expect\Phi(z)\Psi(z)$ 的研究促使我们引入一个新的空间,即 \emph{伪 Bloch 空间},它比标准 Bloch 空间略大。我们的界可依据 McMullen 的渐近方差给出解释,该方差最初是针对 Bloch 空间中的函数考虑的。最后,我们证明关联 $\expect\Phi(z)\Psi(w)$ 可表示为 $L^2(\D)$ 上压缩算子的 Dirichlet 符号,并证明与单叶函数相关的 Grunsky 算子的 Dirichlet 符号可依据一个非线性波动方程得到自然刻画。