高斯和、雅可比和与循环差集的 p-秩

我们研究二次剩余差集、GMW 差集以及由单项超椭圆弧产生的差集，它们均为有限域 $F_{2^d}$（含 $2^d$ 个元素，且 $d \geq 2$）的乘法群中的 $(2^d-1, 2^{d-1}-1, 2^{d-2}-1)$ 循环差集。我们表明，除少数小 $d$ 的情形外，这些差集两两不等价。这部分是通过考察它们的 2-秩实现的。这些差集的 2-秩此前均已知，但与 Segre 和 Glynn 超椭圆弧相关的除外。我们通过如下方式确定了由 Segre 和 Glynn 超椭圆弧产生的差集的 2-秩：利用 Stickelberger 关于高斯和的定理，将这些 2-秩的计算化为一个计数长度为 $d$ 的某些循环二进制串的问题。随后借助转移矩阵法组合地解决了该计数问题。我们给出了 2-秩公式的进一步应用，包括确定某些二元循环码的非零点，以及当 $d$ 为奇数时依据迹函数判断对哪些 $\beta \in F_{2^d}^*$ 多项式 $x^6 + x + \beta$ 在 $F_{2^d}$ 中有零点的准则。